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.6战争模型
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1. 问题的提出
影响一个军队战斗力的因素是多方面的，比方士兵人数、单个士兵的作战素质以及部队的军事装备，而具体到一次战争的胜负，部队采取的作战方式同样至关重要，此时作战空间同样成为讨论一个作战部队整体战斗力的一个不可忽略的因素.本节介绍几个作战模型，导出评估一个部队综合战斗力的一些方法，以预测一场战争的大致结局.
2. 模型假设
甲乙两支部队互相交战，设x（t）、y（t）分别表示甲乙交战双方在时刻t的兵力，其中t是从战斗开始时以天为单位计算的时间.x（0）=x0、y（0）=y0分别表示甲乙双方在开战时的初始兵力，显然x0，y00.在整个战争期间，双方的兵力在不断发生变化，而影响兵力变化的因素包括：士兵数量、战斗准备情况、武器性能和数量、指挥员的素质以及大量的心理因素和无形因素（如双方的政治、经济、社会等因素）.这些因素转化为数量非常困难.为此，我们作如下假定把问题简化.
（1） 设x（t）、y（t）为双方的士兵人数；
（2） 设x（t）、y（t）是连续变化的，并且充分光滑；
（3） 每一方的战斗减员率取决于双方的兵力，不妨以f（x，y）、g（x，y）分别表示甲乙双方的战斗减员率；
（4） 每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑以及其他非作战事故因素所导致的一个部队减员），它通常可被设与本方的兵力成正比，比例系数α，β0分别对应甲乙双方；
（5） 每一方的增援率，它通常取决于一个已投入战争部队以外的因素，甲乙双方的增援率函数分别以u（t），v（t）表示.
3. 模型建立
根据假设，可以得到一般的战争模型如下：
x′（t）=－f（x，y）－α·x+u（t）
y′（t）=－g（x，y）－β·y+v（t）
x（0）=x0，y（0）=y0.
以下针对不同的战争类型来详细讨论战斗减员率f（x，y）、g（x，y）的具体表示形式，并分析影响战争结局的因素.
3.4.1模型一正规作战模型
1. 模型假设
（1） 不考虑增援，并忽略非战斗减员；
（2） 甲乙双方均以正规部队作战，每一方士兵的活动均公开，处于对方士兵的监视与杀伤范围之内，一旦一方的某个士兵被杀伤，对方的火力立即转移到其他士兵身上.因此，甲乙双方的战斗减员率仅与对方的兵力有关，简单的设为是正比例关系，以b、a分别表示甲乙双方单个士兵在单位时间的杀伤力，称为战斗有效系数.若以rx、ry分别表示甲乙双方单个士兵的射击率，它们通常主要取决于部队的武器装备；以px、py分别表示甲乙双方士兵一次射击的（平均）命中率，它们主要取决于士兵的个人素质，则有a=ry·py、b=rx·px.
2. 模型建立
根据模型假设1，结合一般的战争模型，可得正规作战数学模型的形式应为：
x′（t）=－f（x，y）
y′（t）=－g（x，y）
x（0）=x0，y（0）=y0.
又由假设2，甲乙双方的战斗减员率分别为
f（x，y）=ay，g（x，y）=bx.
于是得正规作战的数学模型：
x′=－ay
y′=－bx
x（0）=x0，y（0）=y0
3. 模型求解
模型是微分方程组，其解拆解不太容易求出.不过我们也可不求其解.直接分析战争的结局，我们可以在相平面上通过分析轨线的变化讨论战争的结局.为此，我们引入如下定义。
定义：相平面是指把时间t作为参数，以x，y为坐标的平面.
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