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徐辰猛地睁开眼，眼神中爆发出前所未有的璀璨光芒。
他拿起笔，没有再进行任何试探性的计算。
他的笔尖，在答题纸上，写下了一行如同诗歌般凝练的文字。
【解：设（a2+b2）（ab+1）=k。
不妨设k不是一个完全平方数。
】
【在所有满足该方程的正整数解（a，b）中，取a+b最小的一组解，且a≥b。
】
【考虑关於x的二次方程x2-（kb）x+（b2-k）=0。
】
【显然，a是该方程的一个正整数根。
设另一根为a。
】
【由韦达定理，a+a=kb，a*a=b2-k。
】
【易证a是一个整数，且a=（b2-k）a＜b。
若a＞0，则（a，b）是方程另一组正整数解，且a+b＜a+b，与a+b的最小性矛盾。
】
【若a=0，则b2=k，与k不是完全平方数矛盾。
】
【若a＜0……】
一步，两步，三步……
逻辑的链条，环环相扣，无懈可击。
他没有用任何复杂的运算，仅仅利用了反证法、最小数原理和韦达定理这三个最基础的数学工具，便將整个问题，引入了一个必然会產生矛盾的逻辑闭环！
最终，他写下了结论。
【……综上，假设不成立。
故k必为一个完全平方数。
】
【证毕。
】
当最后一个句號落下时，距离考试结束，还有十分钟。
他放下笔，长长地舒了一口气，靠在了椅背上。
【內心os：搞定，收工。
】
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