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四、正态分布理论在测验中的应用
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如果研究资料隶属于正态分布，为了将其更好地数量化，得到较为符合实际的数量化结果，通常会利用正态分布的特性进行转化。
（一）化等级评定为测量数据
在心理与教育评价中，对有些心理量如爱好程度、意志强弱、能力大小等常用等级评定法赋予一定的评价分数或等级分数。
应用这种方法在最后处理结果时，常会遇到以下两个问题：第一是不同评定者由于各自的标准不同，同一个心理量进行评定时可能给的等级分数不等，这时应如何综合每个评定者的结果？第二是等级分数界线宽，又不一定是等距尺度，要比较不同被评定的心理量的差异，应如何进行？上述两个问题的解决，都需要首先将等级评定转化为测量数据。
将等级评定转化为测量数据，首先要考虑被评定的心理量是否为正态分布，若为正态分布，可以转化为测量数据，即标准分数Z。
若不是正态分布，则不能将等级评定转化为Z分数。
将等级评定转化为测量数据的方法是用各等级中点的Z分数代表该等级分数。
具体步骤如下：①根据各等级被评者的数目求各等级的人数比率；②求各等级比率值的中间值，作为该等级的中点；③求各等级中点以上（或以下）的累加比率；④用累加比率查正态表求Z值，该Z分数就是各等级代表性的测量值；⑤求被评者所得评定等级的测量数据的算术平均数，即为每个被评定者的综合评定分数。
【例6-2】表6-2是3位教师对100名学生的学习能力所作等级评定的结果。
表6-3是3名学生从3位老师那儿获得的评定等级，试将其转化为Z分数。
表6-23名教师对100名学生的评定结果
表6-3各学生所获得的评定等级
解：此题涉及的是对学习能力的评定，学习能力的分布一般为正态，故可将等级评定转化为测量数据进行比较。
此外，表面上看学生1与学生2的等级相同，都是两个A，一个B，学生3最差。
但从表6-2分析，教师甲对A等评定较严，教师乙稍宽，教师丙更宽。
因此，虽然等级相同，但其等级值并不等价，必须将等级评定转化为测量数据。
表6-2中三名教师的评定结果，可图示如下：
图6-5化等级评定为测量数据
根据表6-2的资料，用上述方法将各教师的等级评定转化为Z分数，见表6-4。
表6-4化等级评定为Z分数
有了各位评定者所评等级的代表值Z分数，就可据此求3名学生的平均Z分数了。
学生1的平均成绩为（0.94+1.65+1.28）3=1.29，学生2的平均成绩为（1.96+0.84+1.28）3=1.36，学生3的平均成绩为（-0.94+0-0.32）3=-0.42。
这三名学生的平均成绩表明，虽然学生1与2在评定的等级上相同，但二者的Z分数不同。
（二）确定测验题目的难易度
测验题目的难易度一般用答对者的百分数确定，但是百分数不是等距尺度，有时要比较不同难易度题目之间的难度距离，需要将难易百分数根据正态分布概率转换成难度分数。
原理是假设一个测验中不同难易题目的分布是正态的，即一个测验中通过率较大和较小的题目很少，而通过率居中的题目较多。
确定题目难度分数的具体步骤如下：①计算各题目的通过率，即答对人数与参加测验人数的比例，在正态表中它代表的是曲线下的面积；②用0.5减去通过率，不计正负号，获得正态分布表中的概率值，即表6-5中第三列的p值；③依照p值查正态表中相应的Z值，通过率大于50%的Z值计为负值，通过率小于50%的Z值计为正值；④将查表得到的Z分数加上5（假定正负5个标准差包括了全体）便可得到从0～10的十进制的难度分数值。
这样就有理由认为难度分数是等距尺度，不同题目之间的难易差异就可直接比较。
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